こんにちは、京大生ブロガーのゲーテ(@goethe_kyodai)です。
みなさん小学校で筆算の掛け算って習いましたよね？
これをできない人はいないと思いますが、「なんでこれが正しい答えを導くか」を説明できる人は少ないと思います。
教えられてないので当然ですね。小１か小２で習うので、「正しい答えが出る証明」みたいな厳密な議論をしても理解できないですし、まず教師が分かってるかどうかも怪しいです(笑)。
ということで、筆算の掛け算がなぜ正しい答えを出すのか証明してみましょう。まずは５６７ × ７８という筆算の掛け算の下図で示す所の計算から見てみましょう。
上の赤く囲った段で行った８ × ７、８ × ６、８ × ５という計算は、それぞれ
８× 7 → ８× ( 567の１桁目の数字 )
８× 6 → ８× ( 567の２桁目の数字 )
８× 5 → ８× ( 567の３桁目の数字 )
と言い換えることができます。
でもこれは正しくありません。
実際の計算を反映すると、８× 7、８× 6、８× 5の計算結果はそれぞれ筆算で１桁目、２桁目、３桁目と別々の場所に書かれてい流ので桁を考慮すると、８× 7、８× 6、８× 5はそれぞれ
８× 7 → ８× ( 567の１桁目の数字 × )
８× 6 → ８× ( 567の２桁目の数字 × )
８× 5 → ８× ( 567の３桁目の数字 × )
と言い換えられます。
さらに、この計算の「8」というのは「78の１桁目 × 」と言い換えられるので
８× 7 → ( 78の１桁目 × ) × ( 567の１桁目の数字 ×
)
８× 6 → ( 78の１桁目 × ) × ( 567の２桁目の数字 ×
)
８× 5 → ( 78の１桁目 × ) × ( 567の３桁目の数字 ×
)
となります。下の赤い枠で囲った計算も同じようにできます。
上の図で行なった7 × 7、7 × 6、7 × 5という計算も、さっきと同じようにして、
7 × 7 → ( 78の２桁目 × ) × ( 567の１桁目の数字 ×
)
7 × 6 → ( 78の２桁目 × ) × ( 567の２桁目の数字 ×
)
7 × 5 → ( 78の２桁目 × ) × ( 567の３桁目の数字 ×
)
ということになります。
まとめると、567 × 78の筆算というのは、８× 7、８× 6、８× 5、7 × 7、7 × 6、7 × 5という計算をすることで。
(78の１桁目 × ) × (567の１桁目の数字 ×
)
(78の１桁目 × ) × (567の２桁目の数字 ×
)
(78の１桁目 × ) × (567の３桁目の数字 ×
)
(78の２桁目 × ) × (567の１桁目の数字 ×
)
(78の２桁目 × ) × (567の２桁目の数字 ×
)
を全部足したもの(総和)を５６７ × ７８の筆算の掛け算の答えとして出しています。
つまり
567 × 78
=
(78の１桁目 × ) × (567の１桁目の数字 ×
)
＋
(78の１桁目 × ) × (567の２桁目の数字 ×
)
＋
(78の１桁目 × ) × (567の３桁目の数字 ×
)
＋
(78の２桁目 × ) × (567の１桁目の数字 ×
)
＋
(78の２桁目 × ) × (567の２桁目の数字 ×
)
＋
(78の２桁目 × ) × (567の３桁目の数字 ×
)
＝
(78の１桁目 × ＋ 78の２桁目 ×
)
×
(567の１桁目の数字 × + 567の２桁目の数字 ×
＋ 567の３桁目の数字 ×
)
です。
このように、２つの整数をそれぞれ位ごとの和の形で表して掛け合わせ、(a+b)(c+d) ＝ ac ＋ ad ＋ bc ＋ bd のように、展開して計算したのが筆算の掛け算の正体なのです。
最後にこの話を一般化しましょう。
あるm桁の整数をM、あるn桁の整数をNとします。
そして、Mの各桁の数字を (i = 1,2,...,m)、Nの各桁の数字を
( i = 1,2,...,n)とします。
そうすると、MとNはそれぞれ
M =
N =
と表せます。
下準備が終わりました。
MとNを掛け合わせる筆算の掛け算を式で表すと
M × N ＝
です。これで一般化できました。筆算の掛け算というのはこの同値変形の式を利用して計算をしているんです。
これが一般の筆算の掛け算の本質を表す式です。筆算の掛け算を考えた人の頭の中にはこの式があったことでしょう。
もし小学生の息子が「やり方はわかるけどなんでこれで正しい答えを導けるのか分からない」とごねだしたら、この式を教えてあげましょう。